Operasi Aljabar dan Sifat Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Martiks 
Penjumlahan Matriks

Jika A dan B sembarang matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks  A dengan elemen matriks B yang seletak.

Contoh:
 

Diberikan matriks A dan B:

 

Pengurangan Matriks

Jika A dan B sembarang matriks yang berordo sama maka pengurangan matriks A  dengan B (ditulis A - B) adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matriks  A dengan elemen matriks B.

Contoh: :
Diberikan matriks A dan B:

 
Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks:

a.       Sifat komutatif:

a+b = b+a

b.      Sifat Asosiatif:

(a+b)+c = a+(b+c)

c.       Mempunyai elemen identitas nol

a+0 = 0+a

d.      Mempunyai invers –a

a+(-a) = (-a)+a =0

Perkalian Matriks

Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan Matriks

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah bilangan real, maka kA adalah suatu matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen A.

 

Perkalian Dua Matriks

Jika A adalah matriks berordo   dan B adalah matriks berordo , maka hasil kali AB (misalkan matriks C) adalah matriks berordo , ditulis:

Pada perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut:

a.       (AB)C = A(BC)

b.      A(B + C) = AB + BC

c.       (A + B)C = AC – AB

d.      A(B - C) = AB – AC

e.       (A - B)C = AC – BC

f.       p(BC) = (pB)C = B(pC)

g.      A +B+ = B+A

h.      A+(B+C) = (A+B)+C

i.        p(A+B) = pA + pB

j.        ( p+q) (A) = pA + Pb

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer meliputi:
Pertukaran baris.
Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol.
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.

Beberapa definisi  yang perlu diketahui:

o        Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.

o        Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.

o        Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.

o        Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

Sifat matriks hasil OBE:

1.                  Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).

2.                  Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.

3.                  Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.

4.                  Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss).
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan).

Contoh:

Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari

     

Perhatikan hasil OBE tadi:

-          Setiap baris mempunyai satu utama.

-          Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama).